czwartek, 7 czerwca 2012
1
lambda' = (vd-vz)/vd * lambda0
lambda'' = (vd+vz)/vd * lambda0
f' = vd/(vd-vz) * f0
f'' = vd/(vd+vz) * f0
3
Izo drug. od lewej. Adi pier. od lew. Spr. izotermiczne p = (NkT)/v T = const Sprężanie adiabaty. p = const 1/V^k
K = Cp/Cv = (Cv + R)/Cv > 1 T rośnie
4
A. x^2 + y^2 + z^2 = (ct)^2
x'^2 + y'^2 + z'^2 = (ct')^2
x' = (x-vt)/sqrt(1-(v^2)/(c^2))
t' = (t-(v/c^2)*x)/sqrt(1-(v^2)/(c^2))
y' = y z' = z
B. l(v) = l0*sqrt(1-(v^2)/(c^2))
C. p = mv/sqrt(1-(v^2)/(c^2))
D. a = F/m = deltav/deltat ac = F/m * (1-(v^2/c^2))^(3/2)
W=deltaEkin = mc^2(1/sqrt(1-(v^2)/(c^2)) - 1)
7
Ciało będzie emitować fotony ąż jego temperatura wyrówna się z temperaturą wszechświata czyli 2,72K
poniedziałek, 4 czerwca 2012
Kombinacje z powtórzeniami
k-elementową kombinacją z powtózeniami ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-elementowy podzbiór w którym elementy mogą się powtarzać. Liczba k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi (n+k-1 / k).
Kombinacje bez powtórzeń
k-elementową kombinacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-elementowy podzbioór tego zbioru. Liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego C(k,n) = (n/k) = n!/(k!(n-k)!).
Permutacja z powtórzeniami
n-elementowa permutacja zbioru A={a1,a2...an}, w której element a1 powtarza się n1 razy etc. oraz n1+n2..n3 = n nazywamy każdy k-elementowy ciąg w którym elementy a1,a2...ak powtarzają się wskazaną liczbę razy wynosi P(n,n1,n2,nk) = n!/(n1!n2!...nk!).
Permutacja bez powtórzeń
Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji P(n) = n!
Wariacja bez powtórzeo
K-elementową wariacją bez powtórzeo ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-elementowy ciąg złożony z elementów tego zbioru przy czym
elementy nie mogą się powtarzad. k <= n Twierdzenie: Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji ze zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: V(n,k) = n!/(n-k)!.
Wariacja z powtórzeniami
Wariacja z powtórzeniami. K-elementową wariacją z powtórzeniami nazywamy ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg złożony z elementów tego zbioru przy czym elementy mogą się powtarzad. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: |V(n,k) = n^k.
Prawo iloczynu
mówi nam o liczbie sposobów, na jakie można wybrać uporządkowaną parę punktów, z których poprzednik należy do zbioru A, a następnik do zbioru B. Liczba ta wyraża się wzorem |A x B| = |A| * |B|.
Prawo sumy
liczba sposobów, na jakie można wybrać element należący do jednego ze zbiorów wyraża się wzorem: |A v B| = |A| + |B| - |A n B|– liczność
Rekurencja
Ciąg liczbowy jest określony rekurencyjnie, gdy: 66.1. Określony jest pewien początkowy warunek (P), który podaje wartości skooczonego zbioru wyrazów.
66.2. Określony jest warunek rekurencyjny ( R ), w którym wyrazy
ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich.
Indukcja matematyczna
Niech T(n) oznacza stwierdzenie, w którym występuje liczba naturalna n. Jeżeli T(1) jest prawdziwe i All(n) T(n) => T(n+1) => T(n) jest prawdziwe.
Typy relacji złożonych
relacja równoważności: zwrotna, symetryczna i przechodnia;
relacja porządkująca: zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia;
Typy relacji
zwrotna: xRx;
symetryczna: xRy => yRx
słabo antysymetryczna (xRy n yRx) => x=y
przeciwzwrotna: !(xRx)
spójna: xRy v yRx
Iloczyn kartezjański
zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b) takich, że a E A n b E B.
Prawa zbiorów 2
Prawa odwrotności A v A' = X; A n A' = O/;
prawa de Morgana (A v B)' = A' n B' to samo dla iloczynu;
prawa przemienności: A u B = B u A to samo dla iloczynu i różnicy;
prawo rozdzielności: A n (B u C) = (A n B) u (A n C);
Prawa zbiorów 1
prawo idempotentności: A v A = A ; A n A = A;
prawo identyczności: A v O/ = A; A n X = A;
prawo dominacji: A v X = X; A n O/ = O/;
prawo podwójnego dopełnienia: A" = (A')' = A;
Suma zbiorów
nazywamy zbiór A v B do którego należą tylko te elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B. A v B = {x:x E A v x E B}.
Pojęcie zbioru, elementu zbioru i przynależenia elementu
do zbioru są pojęciami pierwotnymi, których się nie definiuje. Fakt, że
element przynależy do zbioru będziemy zapisywali a E A.
Teoria mnogości
jest działem matematyki zajmującym analizą pojęcia zbioru i innych obiektów matematycznych definiowanych pojęciem zbioru. Twórcą teorii mnogości jest Georg Cantor.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego 2
31.3. Jeżeli r(A) != r(U) to układ jest sprzeczny; 32. Metodą która ma zawsze zastosowanie bez względu na rodzaj równań, jest metoda eliminacji Gaussa. Metoda ta polega na doprowadzeniu za pomocą przekształceń elementarnych na wierszach macierzy do postaci kanonicznej.
Twierdzenia Kroneckera - Capellego
Układ równań A*x = b posiada rozwiązanie <=> rząd macierzy A równa się rzędowi macierzy uzupełnionej : r(A) = r(U) gdzie U=[A|b] 31.1. Jeżeli to układ jest oznaczony; 31.2. Jeżeli to układ posiada nieskooczenie wiele
rozwiązao zależnych od n - r(A);
Metoda eliminacji Gaussa 2
30.2.Układ równań, który posiada nieskooczenie wiele rozwiązań nazywamy nieoznaczonym. 30.3.Układ równań, który nie posiada rozwiązań nazywamy
sprzecznym.
Metoda eliminacja Gaussa
Układ może mied jedno rozwiązanie lub nieskooczenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. 30.1.Układ równao, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie
nazywamy oznaczonym.
Twierdzenie Crammera
Jeżeli macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa to układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązane wyznaczone wzorami: xn = Det(A1)/Det(A) gdzie A(i) oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych.
Pojęcie przekształceń elementarnych
Zaliczamy do nich:
-zamianę miejscami dwóch kolumn lub wierszy;
-pomnożenie dowolnego wiersza lub kolumny przez dowolną
liczbę rzeczywistą różną od zera;
-do dowolnego wiersza (lub kolumny) dodanie innego wiersza (lub
kolumny).
Twierdzenie o rzędzie macierzy
Rząd macierzy nie zmienia się gdy: wykreślimy z macierzy kolumnę lub wiersz złożoną z samych zer; transponujemy macierz; poddamy macierz przekształceniom elementarnym.
Rząd macierzy
nazywamy stopień największego niezerowego minora tej macierzy. Rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn lub wierszy.
Własności wyznaczników 4
22.7.Jeżeli do dowolnego wiersza (lub kolumny) dodamy elementy
innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę
rzeczywistą, to wartośd wyznacznika nie zmieni się.
Własności wyznaczników 3
22.5.Wyznacznik macierzy która ma dwie kolumny lub dwa
wiersze proporcjonalne jest równy 0.
22.6.Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy
transponowanej.
Własności wyznaczników 2
22.3.Wyznacznik macierzy, która ma dwa jednakowe wiersze lub
kolumny, jest równy 0.
22.4.Wspólny czynnik dowolnego wiersza lub kolumny można
wyjąd przed znak wyznacznika.
Własności wyznaczników 1
22.1.Wyznacznik macierzy, której wiersz lub kolumna składa się z
samych zer, jest równy 0.
22.2.Zamiana miejscami dwóch kolumn lub dwóch wierszy w
macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.
Twierdzenie Laplace'a
Wyznacznik macierzy kwadratowej wyraża się wzorem: detA = suma(m,i=1) a(i,j)*D(i,j).
Wyznacznik stopnia >3
stosujemy rozwinięcie Laplace’a. Wprowadzamy dwa pojęcia: minor –
minorem M(i,j) macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Dopełnienie algebraiczne – dopełnieniem algebraicznym D(i,j) macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę (-1)^(i+1) * M(i,j)
Macierz
18. Macierzą nazywamy układ m = {1,2...m} ; n = {1,2...n} elementów, gdzie: i o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych i całkowitych.
Macierz wygodnie jest zapisywad w postaci prostokątnej tablicy.
Funkcja zdaniowa
Funkcją zdaniową nazywamy każde wyrażenie które po
podstawieniu pod konkretnego obiektu staje się zdaniem. Zbiór
obiektów, które można podstawid nazywamy zakresem
zmienności funkcji. Funkcja zdaniowa staje się zdaniem gdy:
podstawimy pod dowolny obiekt i funkcję zdaniową
poprzedzimy kwantyfikatorem;
tautologie 2
prawa przemienności p v q <=> q v p drugie dla iloczynu
prawa rozdzielności p n (q v r) <=> (p n q) u (p n r) drugie z zamiana
prawo transpozycji p => q <=> !p => !q
tautologie
Prawo podwójnego przeczenia p <=> !(!p)
Prawo wyłączonego środka p v !p
Prawa łączności p v (q v r) <=> (p v q) v r drugie dla iloczynu
Tautologia
4. Tautogią nazywamy każdą wypowiedź która jest prawdziwa bez
względu na wartości logiczne zdao składowych.
Funktory
3. Funktory (pełniące rolę spójników) dzielimy funktory:
a)jednoargumentowe: negacja;
b)dwuargumentowe: koniunkcja, alternatywa, implikacja,
równoważnośd;
Zdanie
2. Zdaniem nazywamy każdą wypowiedź której w sposób
jednoznaczny można przydzielid jedną z dwóch wartości logicznych
– prawda (1) lub fałsz(0).
Logika matematyczna
1. Logika matematyczna ustala kryteria poprawności rozumowao
przeprowadzanych w matematyce. Podstawową jednostką
wypowiedzi w logice jest zdanie.
Subskrybuj:
Posty (Atom)