G: tw o zbieżności ciągu monot i ogr, tw stolza

Jeżeli ciąg jest monot i ogr to jest zbieżny. |||
Jeżeli ciąg an jest dowolny oraz bn dąży monotonicznie do INF oraz istnieje lim (an - an--)/(bn - bn--) to równeż zbieżny jest an/bn oraz lim an/bn = (an - an--)(/bn - bn--).

G: tw o 3 ciągach, tw o działaniach

jeżeli an bn są zbieżne do tej samej granicy oraz ciąg cn jest an<=cn<=bn to cn jest zbieżny do tej samej granicy co an i bn. |||
jeżeli an i bn są zbieżne to an+-*bn też oraz dodatkowe wzory

G: tw o zbież śr arytmetycznej ciągu zbieżnego

Jeżeli lim an = g to lim śr artm = g

G: tw o ograniczonosci, monotonicznosci ciagu zbieżnego

Niech g będzie liczbą skończoną. Każdy ciąg zbieżny do granicy g jest ograniczony. odwrotne twierdzenie nie zachodzi. |||
Jeżeli ciągi an i bn są zbieżne oraz istnieje N dla każdego n>N, że an<=bn to lim an <= lim bn. nierówność ostra nic nie zmienia.

C: Definicja Cauchyego

Liczbę g nazywamy granicą ciągu an gdy dla każdego EPS > 0 istnieje taki N dla którego dla każdego n>N |an - g| < EPS.
o ciągu który posiada granicę mówimy, że jest zbieżny

C: ograniczony, monotoniczny, zbieżny

gdy istnieje takie M>0, że dla każdego n E N |an| <= M
rosnący gdy dla każdego n E N anniemalejący nierostnący malejący
mówimy, że ciąg jest zbieżny do granicy g(-inf,+inf) gdy w każdym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu

Z: Pierwiastkowanie

z= nsqrt(|z|)(cos((fi+2kpi)/n) +isin((fi+2kpi)/n))
k = 0,1,2...n-1

P: warunek wystarczajacy istnienia ekstr lok.

Jezeli fx jest ciagla w pkt x0, jest rozniczkowalna w sasiedztwie pkt x0 to fx posiada w pkt x0 ekstremum lokalne wlasciwe. Jezeli zmiana znaku jest z + na - to jest to maksimum, inaczej minimum.

Published with Blogger-droid v2.0.4

P: warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego

Jesli fx jest ciagla w x0 i rozniczkowalna w pewnym jego sasiedztwie i posiada ekstr lok w pkt x0 to f'x o ile istnieje (nie istnieje).

Published with Blogger-droid v2.0.4

Published with Blogger-droid v2.0.4

S: def szeregu

Dany ciąg an. ntą sumą częściową ciągu an nazywamy liczbę sn = sigma n k=1 ak szeregiem nazywamy granicę ciągu sum częściowych czyli liczbę s= lim sn szereg zwykle oznaczamy sigma INF k=1 ak

S+-: naprzemienne, kryt leibnitza

Szereg naprzemienny (-1)^n+1 * an do badania służy kryt leibnitza. ||| jeżeli dla każdego n E N an+1 <= an oraz lim an = 0 to szereg ten jest zbieżny.

S+: Kryt Cauchyego, Kryt d'alemberta

Niech dla każdego n E N an >= 0 oraz lim sqrtn(an) = g to gdy g>1 to szereg jest zbieżny (dalej < i =). ||| niech dla każdego n E N an >= 0 oraz lim an+1 / an = g to ... (tak samo jak cauchy)

S+: kryt porównawcze

jeżeli dla każdego n E N an>=0 i bn>=0, oraz istnieje N dla każdeo n>N, że an<=bn to gdy an jest zbieżne to bn też i na odwrót.

S: suma szeregu geom, warunek konieczny zbieżności

S=a1/(1-q) ||| Jeżeli szereg jest zbieżny to lim an = 0. Twierdzenia nie można odwrócić.

KLASY ZŁOŻONOŚCI

P – klasa problemów rozwiązywalnych za pomocą algorytmu deterministyczne w czasie wielomianowym
NP. – klasa problemów rozwiązywalnych za pomocą algorytmu niedeterministycznego w czasie
wielomianowym
coNP – klasa problemów komplementarnych do NP.
PSPACE – klasa problemów rozwiązywalnych za pomocą algorytmu deterministycznego o
wielomianowej złożoności pamięciowej
EXPTIME – klasa problemów rozwiązywalnych za pomocą algorytmu deterministycznego o wykładniczej
złożoności czasowej
EXPSPACE – klasa problemów rozwiązywalnych za pomocą algorytmu deterministycznego o
wykładniczej złożoności pamięciowej
Klasa NPC problemów NP-zupełnych (NP-Complete)
Klasa problemów najtrudniejszych obliczeniowo w NP.

tabela wzbudzeń JK

0->0 = 0-
0->1 = 1-
1->0 = -1
1->1 = -0

tabela wzbudzeń D

nic się nie zmienia
0->0 = 0
0->1 = 1
1->0 = 0
1->1 = 1

Tw. stoltza

Twierdzenie Stolza.

Jeżeli ciąg jest dowolny i ciąg rosnący i nieograniczony oraz jest zbieżny to zbieżny jest ciąg do tej samej granicy.
Innym ważnym wnioskiem z twierdzenia Stolza jest twierdzenie o granicy ciągu średniej arytmetycznej. Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy zbieżny do granicy g.